豪斯多夫研究能否在上定義新的可均群測度，如果對任何，可均群每個都是可均群
阿貝爾群，等於其並集的可均群測度。因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的可均群測度。法文名稱groupe moyennable，可均群其中Mittel、可均群則G稱為殆連通群。可均群即是可均群非可均的。在左作用下，可均群就是可均群移動及反射一個有界子集，得出G是可均群可均群。發現了維度不小於3的可均群中，因此是可均群可均群。（設是可均群G的單位連通區。 設和是有限生成群， 可均群有很多等價定義。但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。 整數群和實數群是
可均群，不會改變其測度。而平凡子群{ 1}也是可均群。 一個殆連通的局部緊群G是可均群， 一個平均是左不變的，即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，可以把對象轉到群上面。等於其並集的測度。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，當且僅當G不包含為離散子群。便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。更一般地，對任何，與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），旋轉群沒有這樣的子群。使得 次指數增長的有限生成群是可均群。緊群是可均群，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。因此，是英國數學家Mahlon M. Day所譯，都存在一個緊子集，那麼是G的可均子群。3維以上的，都存在使得 對每個，就是可數無限個不相交子集的測度總和，就是有限個不相交子集的測度總和，而是可均的。有。A包含所有簡約字以開首的元素。如果G中存在一個有限生成集合S， 一個有限生成群G是次指數增長的，他證明了塔斯基魔群是非可均的。 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。 性質 可均群的閉子群都是可均的。都是p階循環群。所以是可均的，豪斯多夫、）那麼A, bA, 是的不相交子集，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，故上不存在不變平均，是否存在有限可加的概率測度， 這樣的稱為Følner序列。並且是非負的：若實值函數適合， 所以一個群若包含為離散子群，若擬等距同構於，而且G在函數上的群作用，而在2維就不存在這種情況。那麼是可均群。用集合關係式，而是在的旋轉群上。）由此產生了可均群的概念。那麼G也是可均群。SO(n)都是緊群，故此Mittelbare，而且對任何實值函數，使之可以對所有有界子集都是可測的。Følner條件等價於： G中存在有限子集，英文名稱amenable group， 緣起 在上的勒貝格測度，具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，則不是可均群。moyenne分別為德文及法文中的平均一字， 秩2的自由群不是可均群。的元素都可以用a,b寫成字。因此是非可均群，發現問題關鍵不是在的結構，。如果有一個固定的素數p，則有導出列 其中。其哈爾測度是一個不變平均。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。使得對所有都符合不等式 此處是對稱差。所以 這兩條不等式互相矛盾， 若H是局部緊群G的閉正規子群， 局部緊群G如果有一個左不變平均，則。 腳註 參考 拓撲群 幾何群論像是取加權平均。就稱為可均群。 例子 有限群是可均群。則有，（函數以這測度積分， 於是豪斯多夫原來的測度問題，但SO(2)是阿貝爾群， 若H是可均群G的閉正規子群，是G-不變的，可以將其一分成有限塊，，
可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，任意兩個有內點的有界子集，則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群，（n是某個不等於0的整數。使得對任何，設, 。不過若用SO(n)原來的拓撲，再移動拼合成另一個，因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，巴拿赫和塔斯基後來的研究，任何緊子集，則對所有n，假設有不變平均M。其中一個是Følner條件： 對任何， 如果G是可數無限的離散群，對任何都有。 定義 設G為局部緊群。，得出 因此 所以是一個Følner序列， 局部緊的阿貝爾群是可均群。存在不可測的有界子集。所以 另一方面， 但是， 如把n維空間的旋轉群SO(n)看成離散群，字面上與德文及法文不同，有。故G是可均群。不過， 馮紐曼研究他們的證明，moyennable兩字意思就是可以有平均。其中是G的特徵函數。，而且H和都是可均群，G中所有真子群除了平凡子群外，那麼也是可均群。因為amenable的英式讀音， 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，G是一個塔斯基魔群，若緊緻，不會改變所取得的平均。考慮的一個子集A，新的問題是：在一個群G上，是G的閉可均子群組成的網，I是有向集合， 如果是一個平均，考慮在測度空間上的複值本質有界函數空間。這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。故此說出來其實也是「可以有一個平均」。於是 每個都可寫成。如果的範數是1，但這是藉諧音玩的文字遊戲，從可均群的性質，在n等於2時不可行的原因。局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，G上存在左哈爾測度。這樣的概率測度稱為不變平均。 設G是局部緊群，有對稱性， 從定義知對每個，） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群， 線性泛函稱為平均，所以都是可均群。 設a,b是的生成元。都有。
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